研究了低正则性下复值修正Korteweg-de Vries方程(mKdV)在圆上的适定性。在我们之前的工作(2021)中，我们基于动量守恒引入了第二个重整化的mKdV方程，我们提出了它作为研究复值mKdV \(H^\frac{1}{2}({\mathbb {T}})\)外的正确模型。在这里，我们采用了Deng等人(《普通数学物理》384(1):1061 - 1107,2021)引入的方法，证明了傅里叶-勒贝格空间\({\mathcal {F}}L^{s,p}({\mathbb {T}})\)对于\(s\ge \frac{1}{2}\)和\(1\le p <\infty \)的第二次重整化mKdV方程的局部适定性。作为这个适定性结果的副产品，我们证明了在这些具有无限动量的傅里叶-勒贝格空间中，对初始数据不进行第二次重整的复值mKdV的不适定性。
考虑一维环面上复值修正Korteweg-de Vries方程(mKdV)的Cauchy问题:
(1.1)
其中u是复值函数。该方程(1.1)作为非线性晶格、流体动力学和等离子体物理的动态演化模型出现(例如，参见[8,17,34])。在非线性光纤环境下，(1.1)描述了电磁波在向列液晶中的传输，其中重标变量t和x分别表示距离和时间。在下面，我们选择标准的约定，参考作为空间变量和作为时间变量。还要注意，复值mKdV方程(1.1)，也称为Hirota[19]的mKdV方程，是对通常的mKdV方程的完全可积复值推广
(1.2)
实际上，(1.1)的实值解也是(1.2)的解。
本文通过将Deng等人[9]引入的方法应用于mKdV方程(1.1)，继续研究[4]中提出的周期复值mKdV方程(1.1)的适定性。在陈述我们的主要结果之前，我们回顾了已知的mKdV方程的适定性理论(1.1)。在实线上，(1.1)满足如下标度对称:如果u是(1.1)的解，则，也是(1.1)的解。这种对称性在标度下-范数保持不变的意义上推导出标度临界正则性。因此，通常推测mKdV方程(1.1)在亚临界状态下是局部适定的，即在。在实线上，复值mKdV方程(1.1)一直是一个长期存在的话题[11,13,16,22]。在最近的一项突破中，Harrop-Griffiths等人[16]利用方程的完全可积分性，证明了(1.1)的最优全局适定性。
在周期设置下，实值mKdV方程(1.2)比复值mKdV方程(1.1)得到了更多的关注[1,3,5,6,20,21,26,27,28,29,35,36]。利用质量守恒，Bourgain[1]引入了第一个重整化的mKdV方程(mKdV1):
(1.3)
并在当地建立了良好的地位。注意，mKdV1(1.3)与mKdV(1.1)在以下意义上是等价的:是(1.1)的解当且仅当是(1.3)的解。外部解图[3,5]的-连续性失效需要更稳健的技术来改进布尔甘的结果。特别是，在Sobolev尺度中最著名的结果是Kappeler和Topalov[21]，他们利用了(1.2)的完全可积结构。他们证明了带“的实值散焦mKdV方程(1.2)在for中是全局适定的。这些解在时间上几乎是周期性的，并且数据到解的映射连续地从光滑解扩展到中的解(参见[21,25,32]以获得关于这个解概念的更多细节)。在[26]中，Molinet证明了[21]中的解确实是分布解，并在解映射的连续性失效的意义上证明了下面(1.2)的病态性(参见[35])。这个不适定性结果激发了(1.2)在可选函数空间中的研究，即在由以下范数定义的Fourier-Lebesgue空间中
(1.4)
在哪里。事实上，Kappeler和Molnar[20]在和(另见[29])中建立了实值离焦mKdV1(1.3)的局部适定性。这些解是经典解的唯一极限，如[21]，在时间上几乎是周期性的，对于小的初始数据是全局的。由于尺度类似于，这个结果几乎是关键的。最后，请注意，[20,21]中的结果也可以推广到小初始数据的实值聚焦方程(带“?”)。
在我们之前的工作[4]中，我们在实值和复值设置之间建立了鲜明的对比。特别地，我们证明了这是复值mKdV方程(1.1)的局部适定性的极限，因为它在解不存在的意义上是不适定的。这一结果与动量密切相关
(1.5)
方程的正式守恒量。注意，动量只在连续嵌入的傅里叶-勒贝格空间中定义，即，当和或和。在外面，动量可能不再是守恒的，甚至是有限的。在我们的第一个主要结果中，我们将复值mKdV方程(1.1)的病态性推广到更大的一类空间。
让和。假设它的动量是无限的
(1.6)
其中为空间频率的投影(见定义2.1)。则对于任意，复值mKdV方程(1.1)不存在满足以下条件的分布解:
(i)
，
(2)
mKdV(1.1)的光滑全局解满足。
(i)
对于实值解，动量为同零，因此在实值mKdV方程(1.2)的低正则性适定性中不起作用。因此，定理1.1中的不适定性结果是复值mKdV方程(1.1)特有的现象。
此外，请注意，因此定理1.1适用于外部数据。
(2)
在[28]中的Remark 1.2 (iii)中，作者声明了对于的局部适定性推广到(1.1)的复值解。根据定理1.1中的不适定性结果，情况似乎并非如此。事实上，在(1.8)中的第二次重整化之前，实值mKdV方程(1.2)扩展到复值mKdV方程(1.1)的唯一局部适定性结果似乎是Bourgain[1]的结果。
鉴于(1.1)的病态性，在[4]中，我们提出了低正则性下复值mKdV方程(1.1)的替代模型。与利用质量守恒的第一个规范变换类似，我们通过根据动量的规范变换引入了方程的第二次重整化
(1.7)
若，动量是有限守恒的，则规范变换可逆，且u解(1.1)当且仅当解第二个重整化的mKdV方程(mKdV2):
(1.8)
规范变换的作用是消除非线性中某些共振频率的相互作用，这些相互作用会导致定理1.1中的不适定性结果。我们证明，与mKdV1(1.3)不同，mKdV2(1.8)在for和，或和中是局部适定的。本文的主要结果是改进了(1.8)的全局适定性，而没有利用方程的完全可积性。
对于任何和，mKdV2方程(1.8)都是局部适定的。此外，数据到解映射是局部Lipschitz连续的。
(i)
定理1.3构造的解满足Duhamel公式:
对于某些，其中S(t)表示线性传播子，对应于(1.8)的右侧。更多细节见第2节。
(2)
定理1.3对于该方法来说是尖锐的，因为数据到解映射在任何情况下都不是局部一致连续的(参见[4])。在不对初始数据施加一致连续依赖的情况下，我们期望在定理1.3中降低s是可能的。在即将到来的工作中，我们打算结合Deng等人[9]引入的方法和[27,28,36]中的能量方法来研究mKdV2(1.8)的局部适定性问题。
(3)
为了证明定理1.3，我们采用了Deng等人[9]引入的方法，该方法基于构造具有特定结构的解u。因此，唯一性在由u的结构决定的子流形(见定义2.2)中有条件地保持。在Sobolev空间中，无条件唯一性在(见[24,27])中保持。考虑mKdV2(1.8)在Fourier-Lebesgue空间中的无条件唯一性问题是很有意义的。
(iv)
对于定理1.3中的(s, p)范围，质量是守恒的，因此仍然可以建立(1.8)的局部适定性，而不必以失去解映射的局部Lipschitz连续性为代价从非线性中去掉这一项。相比之下，这种重整化在[20]中是必不可少的，例如，当取数据时。类似地，第二次重整化在定理1.3中是至关重要的，当和。在(s, p)的剩余区域中，由于初始数据处于中且动量守恒，因此只需要进行重整化以保证定理1.3中的局部Lipschitz连续性。
利用Oh和Wang[31]建立的先验界，将Killip等[23]的结果推广到Fourier-Lebesgue集合，我们将定理1.3中的解进行了全局实时推广。
mKdV2方程(1.8)在和中是全局适定的。
对于实值解u，动量意味着。因此，前面定理1.3和1.5中关于复值mKdV2方程(1.3)的结果也适用于实值设置。
实值mKdV1方程(1.3)在for和中是全局适定的。
Kappeler-Molnar在[20]中建立了初始数据较小的实值mKdV1方程(1.3)的全局适定性。1.6的推论扩展了这个结果(s的有限范围)到大型数据集。进一步，我们的解满足Duhamel公式，建立了[20]中构造的解为分布解。[20]中剩余的解尚不知道是分布的。
我们通过进一步说明来结束本节。
(i)
定理1.1中的不适定性结果遵循了Guo和Oh[15]的论证。该证明结合了定理1.3中mKdV2(1.8)的局部适定性和规范变换(1.7)中由于对动量(1.6)的假设而引起的相位的快速振荡。因此，由于定理1.1是从[4,15]推导出来的，我们省略了细节。
(2)
上面描述的缩放启发式可以转移到傅里叶-勒贝格设置。临界正则性由。我们还可以比较这两个空间族的尺度，得出这样的结论:从这些启发式中，我们看到定理1.3和推论1.6的结果在。此时，我们不知道如何证明(1.1)的一个几乎至关重要的结果，但我们希望在未来继续研究这个问题。
在[18]中，Herr引入规范变换研究了导数非线性Schr?dinger方程(DNLS)的低正则性Cauchy问题。这种规范变换消除了非线性的奇异贡献，如(1.7)中所介绍的。与DNLS不同的是，规范变换明确地依赖于动量，而动量在低正则性下定义不清，这使我们无法从(1.8)的解中自由地恢复(1.1)的解。我们克服了这个困难，这在DNLS中是不存在的，通过引入以下低正则性有限动量的概念:我们说f有有限动量，如果
用P(f)表示极限。
通过将有限动量的概念引入到和的初始数据中，我们证明了mKdV2(1.8)的相应解具有有限且守恒的动量。这个限制来自于能量估计，我们目前还不知道如何改进。作为动量守恒的结果，我们利用规范变换和极限论证证明了mKdV(1.1)的分布解的存在性。如果初始数据的动量是有限的，我们期望在整个适定性范围内保持类似的结果。由于本文的主要重点是改进mKdV2(1.8)之前的适定性结果，因此我们不再进一步讨论如何从mKdV2(1.8)的解中恢复复值mKdV方程(1.1)的解。
在我们之前关于复值mKdV方程[4]的工作中，我们使用傅立叶限制范数方法证明了mKdV2(1.8)在和中的局部适定性。解是通过Duhamel公式上的一个收缩映射论证来构造的
(1.9)
其中S(t)表示线性传播子，D表示Duhamel算子，以及
注意，mKdV2(1.8)的非线性对应于。特别地，我们在一些适应傅里叶-勒贝格设置的-空间中寻找解(见定义2.2)。证明局部适定性的一个关键因素是形式的非线性估计
(1.10)
For和。主要的难点在于控制非线性的导数。由于Duhamel算子在时间上平滑但在空间上不平滑，我们想通过使用调制来利用多线性色散，即范数(2.1)中的权重。需要使用时间平滑来帮助控制时间导数施加了限制，我们不知道如何在这个框架内克服它。
在本文中，我们将Deng等人[9]引入的方法应用于mKdV2方程(1.8)，将我们之前的局部适定性结果推广到for和。引入该方法是为了改进gr
nrock和Herr[12]对DNLS的局部适定性结果。在概率设置的激励下，我们构建了以时间平滑函数w为中心的解u。我们将求解一个方程组，而不是求解Duhamel公式
(1.11)
其中F(u, w)是待确定的非线性泛函。在概率偏微分方程(具有随机初始数据或随机强迫)的背景下，可以看到围绕一个适当选择的函数的解决方案，例如在Bourgain [2]， Da Prato和Debussche[7]以及Gubinelli等人[14]的作品中。在这里，中心w是一个明确已知的随机对象，它在其余部分中引入了空间平滑。在我们的设置中缺乏随机性迫使我们考虑移动中心并解决系统(1.11)。特别地，式(1.11)中的第一个方程将结构施加给由w参数化的，而第二个方程找到正确的w, u求解Duhamel公式(1.9)。
这种方法的主要困难是为u选择正确的结构，或者等效地，选择正确的非线性泛函F(u, w)。这种选择，不是该方法规定的，必须允许我们解决u的第一个方程，同时避免非线性估计的坏频率区域(1.10)。建立和求解系统(1.11)有三个要点:(i)选择F(u, w)中非线性项的频率区域;(ii)修改Duhamel算子以诱导空间平滑;(iii)利用第二次迭代求解w的方程。
我们首先考虑(i)。在频率空间的某些区域，非线性估计(1.10)适用于任何固定的和一些和(更多细节见备注6.3)。这些频率区域将包含在w的方程中，我们希望解出和。对于剩余的频率区域，无论选择b和q，我们都不能显示三线性估计(1.10)。然后，这些贡献应该出现在F(u, w)中，以便在较弱的范数中进行估计。另外，我们要求F(u, w)中的项有一个更平滑的w项与导数和最大频率相关。因此，F(u, w)包含如下的项
(1.12)
其中和分别表示空间频率和上的狄利克雷投影;参见定义2.1。这些术语大致可以被w视为“parcontrolled”(参见[14]了解parcontrolled发行版的详细信息)。
不幸的是，对F(u, w)的假设和(1.12)中的项还不足以显示对任何一项的估计(1.10)。这就引出了(ii)，并引入了一个改进的Duhamel算子，它不仅在时间上平滑，而且在空间上平滑。修正是通过一个时间卷积引入的，该时间卷积带有一个由共振关系参数化的平滑函数:
(1.13)
在哪里。然后我们通过将(1.13)中的修正Duhamel算子应用于(1.12)中的项来选择F(u, w)。在这里，由于频率满足，与in(1.13)的卷积引入了负幂，从而在空间上平滑，代价是减少了时间上的平滑(详见第3节)。这种平滑效果允许我们通过一个固定点参数来解u的方程，对于每个固定点。因此，我们得到一个由w参数化的函数，它还不是mKdV2方程(1.8)的解。这只有在我们找到正确的中心w之后才会发生。
为了求解w的方程，我们使用Duhamel公式的“部分”迭代。对于不能在-范数中直接估计的项，我们首先用它的方程替换与导数相关的项，然后替换最大频率项。该策略通过引入依赖于改进的Duhamel算子(1.13)和更多w项的项来诱导平滑，以增加开始估计的项的多重线性为代价。该策略类似于Bourgain[3]、Oh[30]和Richards[33]等人使用的二次迭代方法。特别是，这导致我们可以在更强的规范中估计新的三次、五次和化脓项(参见第4、6节)。
总之，F(u, w)的选择需要在能够求解u的第一个方程和在使用第二次迭代求解w的方程时诱导足够的空间平滑之间取得微妙的平衡。这种选择使我们能够显示任何的相关估计，即使我们必须在时间上使用平滑来获得空间平滑。
在第2节中，我们介绍了相关的函数空间和一些辅助结果。在第3节中，我们引入了改进的Duhamel算子，并给出了相关的核估计。在第4节中，我们建立了u的方程。此外，我们解释了如何使用第二次迭代来获得w的方程，详细内容在“附录A”中。方程中关于u的非线性项的相关估计见第5节。最后，第6节致力于解w的方程。
摘要
1 介绍
2 预赛
3.拆分Duhamel算子
4 方程组
5 命题证明
6 命题证明
笔记
参考文献
致谢
作者信息
附录A: w的方程
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#####
我们首先介绍一些有用的符号。我们将使用表示平滑时间截止函数，等于1，外面等于0，对于。最后，让我们表示对某个常数的形式的估计。同样地，将表示和，而将表示某个小常数。符号和分别表示和表示任意小。
傅里叶变换的约定如下。的傅里叶变换分别对空间和时间变量，由
时空傅里叶变换表示为。我们也会用，表示，和，但是从上下文中，也就是分别从空间和时间傅里叶变量n和的使用来看，它指的是哪个会变得很清楚。
用狄利克雷在空间频率上的投影表示，定义如下
这里是狄利克雷核。我们也定义和。
现在，我们关注函数的相关空间。表示满足的函数空间
(参见[1,12])让，。空格，缩写，被定义为相对于范数的补全
(2.1)
当，上面定义的-spaces缩减为标准-spaces。
在继续之前，我们先介绍函数的相关空间和相关参数。让它是一个小参数，以后再选择，取决于。我们引入以下参数
请注意，和。我们将着重于显示端点的结果，有关详细信息，请参见注释4.4。因此，我们将在以下空格中进行分析:
注意这一点。
(1.8)的非线性具有以下空间傅里叶变换
(2.2)
和表示共振关系
因式分解保存。考虑以下三线性运算符
(2.3)
我们在(2.3)的右边施加。因此，我们可以将非线性(2.2)分解为非谐振贡献和谐振贡献
请注意，如果是(2.3)中对应的空间频率，那么，和将在下面的集合上进行求和
加上额外的假设。因此，我们要考虑下列分区域:
对于，令表示运算符的限制为。我们可以把非线性的非共振贡献写成
对。我们还介绍了以下符号
(2.4)
下面的引理阐明了所引入的子区域中频率之间的关系。
其中的集合满足以下性质:
(i)
；
(2)
或;
(3)
；
(iv)
；
(v)
；
(vi)
和。
请注意，当和包含在。在这个区域允许有其他完全非谐振的频率相互作用，即保持。然而，由于条件的限制，共振关系在估计这一贡献时不会起关键作用。
最后，我们回顾一下(1.8)的解的概念。让我们表示Duhamel算子及其截断的版本
如果它满足以下积分方程，即Duhamel公式，我们说它是(1.8)具有初始数据的解
(2.5)
由于我们只关心局部适定性，让我们考虑截断的Duhamel公式:
(2.6)
下面的命题允许我们获得存在时间T的一个小幂次，这是闭合收缩映射论证所需要的。
假设F是一个平滑函数，满足。然后，我们有以下估计
对于任意和。
我们想估计一下以下数量
一旦我们显示，这两种估计都会随之而来
(2.7)
对于满足，和。要估计左手的(2.7)限制到，它足以表明
(2.8)
用杨氏不等式
估计来自。
要估计左手边(2.7)的限制，使用的事实是，我们注意到
(2.9)
对于(2.9)中的第一个贡献，我们区分了区域和，并使用中值定理得到
对任何人来说。对于(2.9)中的第二个贡献，我们有
结合(2.9)中对两个贡献的估计，我们得到
最后一步用H?lder不等式。第一个和第二个因素分别由和控制，因为和。预期的估计数如下。
引理2.5只适用于满足假设形式的函数，即Duhamel算子和第3节中定义的算子。
下面的引理，改编自[9]，估计给定自然数的除数的个数。
固定，让这样的。那么k的因数满足的个数不超过。
最后，回想一下下面这个众所周知的工具(参见[10，引理4.2])。
让这样的和。然后，我们有
在哪里
在本节中，我们通过估计Duhamel算子的核来显式地建立其在时间上的平滑性。此外，我们还引入了改进版的Duhamel算子和局部非线性贡献的核估计。
截断的Duhamel算子具有如下的时空傅里叶变换
其中核K由下面的表达式给出
(3.1)
满足以下估计
(3.2)
这里是一个足够大的正数。
我们从计算的时空傅里叶变换开始，
利用这个事实，我们有
因此，既然，我们有
计算卷积，我们得到了预期的表达式。它仍然显示了对内核的估计。在这个区域，利用Cauchy-Schwarz不等式和引理2.8，我们有
对任何人来说。在该区域，我们考虑两个子区域:或。在这两种情况下，利用任意的中值定理，我们得到
综合这些估计，我们得到
要显示(3.2)，请注意and。因此，
我们想把每个非共振的贡献分成两个分量:
贡献将取决于修改后的Duhamel算子。通过引入一个由共振关系参数化的光滑函数的卷积，我们在空间上诱导出足够的平滑来控制微分非线性。考虑一个Schwartz函数满足
(3.3)
式中为希尔伯特变换，即与函数的主值卷积。我们通过它们的空间傅里叶变换定义这些算子如下
用等价的定义对求和施加条件。在以下情况下，我们估计上述算子的核。
让。然后，卷积算子有如下的时空傅里叶变换
这里的核是由下面的表达式给出的
(3.4)
满足以下估计
(3.5)
这里是一个足够大的正数。
由于和之间的关系在证明中不会起重要的作用，所以我们将用to表示两者。我们要计算以下内容
在哪里。请注意，为了简单起见，用，表示它。按照命题3.1的证明，我们有
代入和，我们得到预期的表达式。它仍然显示核估计。首先，注意对于Schwartz函数f，我们有
利用中值定理并区分两种情况，我们可以对任意的第一项进行估计。第二个贡献等于零。最后，利用引理2.8，第三项由。因此,
(3.6)
由于是Schwartz函数，使用(3.6)，
现在，考虑到核函数和估计，我们得到了下面的结果
应用引理2.8，我们有
对于第二个贡献，应用引理2.8或Cauchy-Schwarz不等式给出如下估计
因此,。对于(3.5)，我们考虑不同的情况或。请注意，对于后者，和。估算是通过选择来完成的。
对于，考虑命题3.1和3.2中的算子和和核估计。然后,
在哪里。因此，对于改进的Duhamel算子，我们可以将时间上的平滑转换为空间上的平滑，这与通常的Duhamel算子不同。
让。然后，卷积算子有如下的时空傅里叶变换
核是由什么给出的
满足下面的估计
对于任意和。
Let和Let表示和。根据定义，我们有这个。根据命题3.1和3.2，核被定义为给出核的预期公式。使用内核的表达式(3.1)和式(3.4)，我们可以重写为
对于，利用中值定理，对于任意，
利用式(3.6)和Cauchy-Schwarz不等式给出
在估计之前，请注意，由于使用中值定理，我们得到
使用上述估计，从前面的论点可以得出，对于任何，
为了估计，我们首先要给出。如果，我们使用这个事实和中值定理。否则，和。由此得出
利用上述估计和(3.6)中的事实，我们有
对于最后的贡献，我们已经
我们想进一步拆分运算符，以获得更好的核估计。我们将把内核分成两部分:当我们可以直接估计乘数时，以及当我们还必须使用。让内核定义如下
因此，对于任意的核，我们有以下估计:
(3.7) (3.8)
在第6.1节中，我们将看到，由于在空间中显式平滑，可以很容易地估计对应于核的贡献。然而，为了估计对应的一个，我们将不得不使用最大调制。特别地，从(3.8)中，我们看到
(3.9)
对于任何，since and
因此，我们可以使用in来估计(3.8)中第二个贡献的分子，这促使根据哪个调制最大来拆分算子。特别是，我们有
(3.10)
其中有核，并且核定域于，的区域。类似的分解适用于。
我们将求解一个有序的方程组，而不是在积分方程(2.6)上运行一个收缩映射参数。在本节中，我们建立了u和w的相关方程以及证明定理1.3所需的主要结果。对于固定的p in，我们只关注在中的局部适定性。for的结果是由正则性的持久性论证得出的。详情见备注4.4。
对于一个固定值，我们考虑u的如下方程
(4.1)
我们首先求解式(4.1)，得到，即u被w参数化。
对于任何令人满意的，都存在着一个独特的与令人满意的(4.1)，对于一些。映射是利普希茨从-球到-球。
为保证式(4.1)的解满足Duhamel式(2.6)，则w必须满足下式
(4.2)
为了求解上述方程，我们使用部分第二次迭代，将其替换为其式(4.1)。在第2节和第3节中介绍的对算子和的分解，分别明确地确定哪些项具有最大的频率和最大的调制。这些信息将指导第二次迭代过程。
对于项，我们从左到右替换u(4.1)的方程，只得到三次项和五次项，如下例所示
该策略优先考虑具有导数的入场，其次是在其余两个因素之间频率最大的入场。对于with，由于(4.2)中的差异，在第二次迭代后将不会有三次项。
对于项with，我们将运算符分成四部分，如式(3.10)中定义的。相应的贡献很容易估计，但对于最大调制在估计核中起重要作用。如果第j项对应于u或项，我们将其替换为u(4.1)的方程。例如，我们有
按照上面的详细步骤，我们得到了一个新的w方程。由于它的长度，我们决定只把它包含在“附录a”中。
对于任何令人满意的，都存在一个唯一的与令人满意的(4.2)，对于一些。映射是利普希茨从-球到-球。
为了展示命题4.2，我们将不对(4.2)右侧定义的映射和附录a中包含的方程(a .1)运行收缩映射参数。(A.1)中的一些五次项需要再次使用u(4.1)的方程，引入新的五次项和新的化粪池项。考虑到这一额外步骤引入的大量新项，我们决定在呈现w方程时省略它们。获得新贡献的策略在第6.2节中描述，以及五次项和五次项所需的估计。
在第5节和第6节中，我们将建立证明命题4.1和4.2所需的估计，定理1.3由此而来。为了将此结果扩展到，请注意所需的估计值为
通过将范数中额外的权重与频率最大的函数相关联，可以很容易地从估计中得出结论。因此，通过正则性论证的持久性，我们得到了其中的唯一解。
在本文的其余部分，我们将建立证明命题4.1和4.2所需的非线性估计。结果分别来自和中的收缩映射参数。根据引理2.5，估计等式中的项就足够了。(4.1)和(A.1)分别去掉的因素。为简单起见，我们将使用符号来表示，，For, to表示For, For For and。在估计中，和所在的频率区域之间没有区别，因此采用了这种简化的符号。
在本节中，我们建立了显示提案4.1所需的估计。
让。那么，下面的估计成立
利用式(3.5)和变量的变化，可得
(5.1)
在哪里。请注意,
闵可夫斯基不等式给出
将内模表示为，我们可以将和式重写为如下
For in(2.4)。由于下列界限在和n中一致成立，对于任意，
选择，我们有，我们可以应用舒尔的测试，脚注2得到
(5.2)
表示上的投影，设，。然后，利用Minkowski不等式和H?lder不等式，我们得到
如果有，我们用引理2.7来计算因子。自
对于任意，我们得出的结论是，有最多的选择。由于n是固定的，这就决定了的选择，从而决定了的选择。如果，那么，我们可以用标准除数计数估计得出有最多选择的结论。因此，我们有
我们应用闵可夫斯基不等式在最后一个不等式中。选择，我们得到
将此估计应用于(5.2)得到
这个估计来自H?lder和Minkowski不等式。
(5.1)中变量从到调制的变化需要保证量
与共振关系有显式的依赖关系，当确定其值时，不再依赖于变量。因此，可以将范数内的量看作是中的卷积算子，取决于:
这个技巧允许我们估计范数，并对共振关系的值引入限制。这一策略将贯穿全文。
在本节中，我们将展示通过收缩映射论证证明命题4.2所需的多线性估计。特别地，我们估计了(A.1)右边的三线性和五线性算子。在第6.1节中，我们将重点讨论(A.1)中的三次项，即
(6.1)
其中，，。
(a .1)中的五次项是由用-算子代替u项而得到的。首先，请注意
对任何人来说。因为对于s, b, p, q的任意选择，我们将忽略依赖于的贡献，因为它们可以类似地估计。我们从计算由项产生的五次贡献的时空傅里叶变换开始。例如，对于和，我们有以下估计
对一些人来说。对于捐款和，也可以得到类似的估计数。主要的困难是控制空间乘数，定义如下
在提到五次项时，我们将频率中的频率称为第一代频率而将频率中的频率称为第二代频率。
在第6.2节中，我们将估计其中的贡献，即
(6.2)
式中，和，。这些贡献的估计如下一旦我们控制了它的时空傅里叶变换定义如下
(6.3)
在6.2节中，我们在特定的频率假设下建立了(6.3)的估计。并不是(6.2)中的所有贡献都满足这些额外的假设，这迫使我们再次使用u的方程，引入新的感染性术语。仍需考虑以下五项贡献
(6.4)
其中，，。贡献不受(6.3)的控制，因此需要更精细的方法。就贡献而言，第j个调制不仅起着重要的作用，而且是新函数中调制最大的。这在第6.3节中有详细说明。
我们从估算(6.1)中的三次项开始。
下面的估计成立
利用式(3.2)中的核估计和杨氏不等式，我们有
对。应用H?lder不等式得到
在哪里
引理2.8。结果由H?lder不等式得出。
让。那么，下面的估计成立
Let，则意味着。使用(3.2)，我们有
设、，并按(5.1)进行。利用闵可夫斯基不等式和H?lder不等式得到
因为从标准除数计数估计，我们有，对于任何。选择并应用舒尔试验，得到
对。因此，使用H?lder和Minkowski的不等式，可以得出
(i)
不能以类似的方式估计，因为它不受。这激发了改进的Duhamel算子的应用，在空间中引入平滑，以控制非线性的导数损失，而不使用最大调制。
(2)
考虑估算
对一些人来说，……该区域包括，的情况。当试图在近共振假设下显示上述估计时，我们必须施加条件
这激发了我们对空间的选择和定义。
让。下面的估计成立
在核估计(3.7)中选择，给出
在最后一步应用闵可夫斯基不等式并积分。因为，我们有，这意味着
应用H?lder和Minkowski不等式，可以得到
其中J(n)定义如下
令分别表示在J(n)的定义中达到最大值和最小值的指标。如果，我们可以用for和sum in这个事实。如果，我们求和。因此，在n for中是一致的。预期的估计是根据H?lder的不等式得出的。
让。那么，下面的估计适用于
我们将只显示对的估计，因为其余的估计遵循类似的证明。让。出自(3.9)with和for we have
在哪里。让。然后，利用闵可夫斯基不等式和杨氏不等式，我们有
利用H?lder不等式，我们得到
在哪里
对于一些不同的和。预期的估计是通过应用H?lder不等式得出的。
在本节中，我们着重于估计(6.2)中的五次项。在此之前，我们必须考虑使用第二次迭代引入的新“共振”。为了使估计成立，我们需要最大频率对应于w项，而不是在配对中，如下所定义。否则，我们将使用u(4.1)的公式，它引入了新的化粪池术语。
更详细地查看(6.3)，请注意(6.3)中的总和并没有排除所有共振，即我们可以有for distinct。如果成立，我们说(i, j)是一对。
我们将给出(6.3)的一般估计，假设以下条件之一成立:
(i)
在中没有配对最大频率对应于一个函数;
(2)
有一个配对(i, j)，最大频率in对应于一个函数in;
(3)
有两个配对，剩余的频率对应于中的函数。
请注意，如果(i)， (ii)或(iii)成立，我们总是可以使用不在配对中的最大频率来控制范数的空间权重。如果贡献不满足上述任何条件，那么不在配对中的最大频率对应于函数u我们想再次使用u的方程。这就产生了一个满足上述假设的五次项和两个容易估计的五次项。
为了进一步说明，让我们在(6.2)中表示贡献。对应于的空间傅里叶变量。如果是不在配对和中的最大频率，那么我们保持贡献不变。否则，我们将使用公式(4.1)来替换中的第一项。为简单起见，假设，那么我们有
通过仔细检查(6.2)中项的频率和配对，并应用上述修改，我们得到了w的最终方程。由于它的长度，我们决定不包括完整的方程。
由式(6.2)产生的所有五次项和五次项都可以通过以下两个命题来估计。
如(6.3)中所定义，其中第一个因子具有最大的空间傅里叶频率，而不是在配对中。那么，下面的估计成立
情况1:不配对
表示上的狄利克雷投影。由于我们没有配对，因此使用闵可夫斯基不等式得到
使用变量变换和舒尔检验，我们得到
其中，和，。注意，我们可以简单地将其限制在以下区域
满足固定n，因此，由H?lder的不等式可知
(6.5)
子用例1.1:
利用柯西不等式，省略时间依赖，我们有
在哪里
取上置，得到
为了估计，我们使用引理2.7。对于第一个，要计算它的选项就需要计算除数的个数，其中，的。如果，那么
对任何人来说。否则，我们有
对任何人来说。应用引理，除数的个数，满足
是由，为。因此，对于任何。一个类似的方法给出。因此，我们有
通过选择。看看(6.5)，因为，在给出中取最大值
利用H?lder和Minkowski不等式，我们有
只需要对二进数求和。利用这个事实，我们有
For和。
子用例1.2:
利用Cauchy-Schwarz不等式，我们有
在哪里
从引理2.7中求出。注意，if, then满足和for any。数的个数等于数除数。因为，根据引理2.7，存在最多的值。如果，那么，根据标准除数计数引理，有最多的除数。因此，对于任何。
闵可夫斯基不等式给出如下结论
将先前的估计应用于(6.5)和H?lder的不等式得到
它只剩下在动力学中求和:
如果。
案例2:一对(4,5)
在这种情况下，我们有。让和，。在情形1中使用柯西-施瓦茨不等式，并按情形1进行处理，得到如下结果
(6.6)
其中，它在n中一致满足。
子用例2.1:
针对内和，我们应用柯西不等式，与，得到
其中，。注意，因为给定的方程是二次方程。因此，取上限制值并利用这个事实，我们得到
通过选择。使用这个估计值给出
估计是由动力学求和得出的。
子用例2.2:
关注(6.6)的空间规范，我们有
哪里满足。将这个估计值代入式(6.6)并使用H?lder不等式得到
估计是由动力学求和得出的。
案例3:两对(2,3)，(4,5)
利用Minkowski不等式和Cauchy-Schwarz不等式，我们得到如下结果
结果由H?lder不等式得出。
请注意，如果我们在乘数中包括一个因子，对于一些和一个小的，上面的估计仍然成立。
让第一个条目具有与配对和无关的最高频率。那么，下列估计成立
(6.7)
注意，式(6.7)的左边是由下面这个量控制的
(6.8)
用，代替第二项。它足以估计(6.8)。
既然和，我们就有了
考虑变量的变化，令。
情况1:没有配对
假设。然后，。利用Minkowski不等式和Schur检验，我们有
在哪里。利用H?lder不等式，可以得到
在哪里
它一致地满足n，关注内部和，忽略时间依赖性，我们有
在哪里
利用引理2.7，对任意和都有。此外，我们知道，给予
通过选择。因此，利用H?lder和Minkowski不等式可以得到如下结果
估计是由动力学求和得出的。如果，则是最大的频率，我们可以通过交换和的角色来继续进行。
情况2:至少有一个配对
如果至少有一个配对，我们可以显示一个更强的估计，每个函数都属于，由于最大频率的负幂，它不在配对中。本案例将遵循与提案6.6的证明类似的策略，因此我们将省略细节。
仍需估计(6.4)中的各项。这些术语不能写成(6.3)式，因此需要更细致的分析。对于这些项，我们需要使用调制。例如，计算式(6.4)中项的时空傅里叶变换，我们有
使用(3.5)。为了控制乘法器，我们必须考虑依赖于第二代调制的两种情况:
(6.9) (6.10)
若(6.9)成立，则，可得第一代和第二代共振关系的幂次:
如果式(6.10)成立，我们只能得到第一代共振关系的幂次
对(6.4)中的捐款也有类似的估计，其中的数额已超过和。对于限制在(6.10)和(6.4)中的区域的贡献，我们首先更详细地查看空间频率。在空间乘数可以有界的频率区域，贡献由(6.3)控制，我们可以使用命题6.6。否则，我们可以应用以下结果。
假设频率顺序如下。如果，(1,2)不是配对和
那么下面的估计成立
(6.11)
(6.4)中定域于(6.9)的项可由以下命题估计。
让我们这样
在哪里和。那么，下面的估计成立
由于估计时最大频率的损失，我们将区分两种情况:when和when。
案例1:
利用符号和变量变换，我们首先应用Minkowski不等式和Schur检验得到
在哪里和。设，，和，，并进数为。省略时间依赖性，利用H?lder不等式和标准除数计数估计，得到
应用前面的估计，我们得到
(6.12)
利用这样一个事实:对于和足够小，估计是由和进数求和得出的。
案例2:
在这种情况下，我们需要一种不同的方法来控制乘法器的小功率以及使用除数计数估计的-损失。注意这一点。自
然后。按照之前的策略，我们有
因此，为了控制的小幂次，我们使用以下事实
为了获得力量，我们强加。因为，当应用舒尔估计时，我们想保持这个量。因此，与，我们需要
我们可以得到for的幂
既然如此，我们就可以选择。同样，对于，，我们有
对。将所有这些幂相加，我们得到(6.12)中使用的，而不是条件。
我们有以下估计
对于二进数，设。根据对称性，我们可以在不丧失一般性的前提下假设，我们将考虑两种情况:或。由于策略遵循类似的方法，我们将只关注前者。
假设。利用杨氏不等式和H?lder不等式，我们得到
它只需要在动力学中求和
然后估计
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