本文主要研究广义曲率的等式和不等式。我们首先推导了近似K?hler流形的顺序弯曲积子流形的平均曲率矢量和第二基本形式的等式，然后给出了Lawson-Simons型不等式(Lawson and Simons, Ann)。数学，98:427-450,1973)的广义复空间形式，扩展了Sahin在Sahin(周期数学)中得到的结果。挂。, 2021)。同时，还讨论了支持不等式的一些特殊情况和一个数值例子。
纳什定理的提出是为了使黎曼流形始终被认为是黎曼子流形[23]。然而，Gromov[17]指出，这一希望并没有实现。其根本原因是子流形的外在方面不受已知的内在事实的控制。在子流形的主要的内在不变量和外在不变量之间建立有意义的联系是子流形理论的一个基本问题。人们越来越有兴趣通过发展几种几何等式和不等式来稳定这种关注，以承认不变量。在Chen[8,9,10]采用翘曲积技术作为发展不变量不等式的方法并推导出一些有意义的信息后，这一路径的研究得到了发展势头。从那以后，一些微分几何学者建立了几何不等式来分析外在参数和内在参数之间的关系，不仅适用于弯曲产品，也适用于它们的推广，如不同环境空间中的双重和多重弯曲产品(见[3,11,12,13,25])。序贯翘曲积(sequence warp product，简称SWP)是对翘曲积(简称WP)的一种新的推广[6]，其基本因子仍为翘曲积流形。Shenawy在[31]中揭示了SWP。此后，De, Shenawy和Unal进行了充分的研究，并在[15]中定义SWP为，考虑了三个黎曼流形B，和。如果和。然后B的SWP，和是被赋予黎曼度规的积流形。是常数f h的黎曼三重积;对于f和h常数中的一个，是一个带积基流形的弯曲积。是SWP，如果f, h是非常数。
Pahan和Pal[26]以及Karaca和Ozgr[18]通过某些例子，用(拟)爱因斯坦结构扩展了序贯翘曲空间的研究。Sahin[29]发现了K?hler流形中SWP子流形的存在，并提出了几何不等式和表示内在不变量与外在不变量之间关系的等式。最近在[19]中，作者推广了近K?hler流形中涉及不变量的Chen不等式。在这些发展的推动下，在本文中，作者继续研究，通过提出不等式和平均曲率等式来使用SWP技术分析广义复空间形式和近似K?hler流形中的几何不变量。
以下是文章的简要描述。我们首先回顾第2节中关于几乎厄米流形、近似K?hler流形及其子流形的一些关键概念和定义。然后在第3节中，我们推导并回顾了一些引理以供将来使用。最后，我们得到了一些重要的结果，推广了近似K?hler流形和广义复空间形式中各种翘曲积的等式。我们也看一下具体的例子和相应的等式。
一个几乎复杂的流形是一个允许复杂结构的流形
(2.1)
其中J定义自同态，id表示单位映射。几乎厄米流形都具有黎曼度规g，它满足以下公式:
(2.2)
其中表示与相切的向量场集合。
[16,37]是一个K?hler流形if。更进一步，如果，则它是近似K?hler流形，其中，在w.r.t.g上，表示黎曼联系。
比近似K?hler流形更一般的流形被称为rk流形，如果它们具有恒定的全纯截面曲率，那么它们被称为广义复空间形式(详细信息，参见[36])。此后，我们使用符号来表示广义复空间形式，其中代表全纯截面曲率和常数型。接下来，对于，曲率张量表示为[4,24]
(2.3)
现在，我们回顾一些重要的公式和定义，以供将来使用，这些公式和定义涉及等距浸入2N维的M维子流形M(详见，[7])。Gauss-Weingarten公式定义为:
(2.4) (2.5)
:与M相切的空间和:与M法向的空间。和上的诱导正切连接和法向连接分别用符号和表示。现在，形状算子和第二种基本形式(缩写为SFF)分别由at和表示，其方式如下
(2.6) (2.7)
表示对于任意，和分别是和的正交基的一部分。下式(2.7)可修改为:
(2.8)
M的平均曲率矢量为。
更进一步，如果和我们可以表示为
(2.9) (2.10)
其中t E()和n E()是J E()的正切(法向)分量，然后应用方程。(2.1)(2.2)和(2.9)，我们实现了
(2.11)
如果tan()是并且nor()是，那么我们有
(2.12)
接下来，我们根据定义2.1和式推导出下列表达式。(2.4) - (2.12):
(2.13) (2.14)
和的定义是什么
(2.15) (2.16) (2.17)
． 的协变导数由下式给出
(2.18)
对任何人来说。高斯方程和科达齐方程分别定义为
(2.19) (2.20)
其中R和表示M和上的黎曼曲率。
在这里，我们将刷新某些关键定义和发现，以供进一步使用。
设M是的子流形。设J(E)与M的切空间的夹角。如果对于M上的任何非零点p和切向量场E，夹角不依赖于E，则M是点向倾斜的。因此，可以理解为M上的函数，称为斜函数[14]。
对于M上的常数，M被简单地称为倾斜子流形。具体来说，是全纯的，是全实的[7]。
M为点状半倾斜[27]。，伪斜[34])，如果分布:一个全纯的和:一个点斜的M(相对于。(完全实数和)具有倾斜的函数，这样
我。
切空间允许正交直接分解。,)。
2
该分布是全纯的，即:是完全真实的，即，)。
在论文[16]中，我们得到每个K?hler接近K?hler。因此，每种复空间形式都可以被归类为广义复空间形式。但反过来是不正确的，因为与标准的近似K?hler结构相关联的是一个广义复空间形式的例证，它不是一个复杂的空间形式，特别是K?hler。因此，有必要分析近似K?hler流形和。因此，在本节中，我们将分析M和上的形式的SWP子流形。我们还将审理相关的特殊案件。”
首先，我们回顾以下结果，以备将来参考:
[15]如果是近似K?hler流形的SWP子流形，则
B和分别是和M的完全测地线子流形，
和of和M是完全相连的。
[19]张勇。近K?hler流形中顺序翘曲产物的等距浸渍。我们得到
1.
，消失;
2.
3.
4.
已经推导出了涉及第二种基本形式的平方长度、平均曲率矢量和各种翘曲结构上的黎曼曲率的几个不等式和等式(参见[1,5,10,13,22,30,32,33,35]等)。在这里，我们将得到广义复空间形式下各种弯曲积的曲率等式和不等式的推广定理。
如果M是的SWP子流形，那么我们可以这样表示和
现在，让这些分布的正交切线坐标系
由,
By, and
通过
正态分布
由,
By, and
通过。
然后是，，，，，和。最后。dim(M)是，dim()是。
的SWP子流形上的平均曲率矢量的几何等式和相应的特殊情况。
如果M维SWP子流形浸入偶维近似K?hler流形，则M满足以下等式:
(3.1)
我们有它的定义
(3.2)
现在，将框架应用到Eq.(3.2)中，我们得到
(3.3)
在式(3.3)中，lie In，因此有三种选择。首先，假设，则式(3.3)为
根据引理3.2公式1的第一个表达式，我们有
(3.4)
如果，则Eq.(3.3)可表示为
利用引理3.2中公式-1的第二个表达式，我们得到
(3.5)
最后，假设，则Eq.(3.3)化简为如下表达式
这意味着
(3.6)
根据等式。(3.4) -(3.6)，我们得到式(3.1)。这样就完成了定理的证明。
如果在定理3.3中，对于近似K?hler流形，我们取
案例1。，则和M约化为cr弯曲积子流形，满足
例2。，则和M化约为点型半倾斜弯曲积子流形，满足
例3。，则和M约化为点拟斜弯曲积子流形，满足
最后，我们在Lawson-Simons[20]的意义上推导了第二个定理，并且由于其大量应用，我们有动机研究下面的结果(参见[2,21,28])。
如果是中的m维SWP子流形，则
(3.7)
式中为on的拉普拉斯式和第二基本形式。此外，如果等式成立，则是中的单个扭曲积子流形。
在Eq.(2.3)上使用标准正交框架，我们有
(3.8)
现在，通过式(3.8)中的正交关系，我们得到了它
(3.9)
通过等式。(2.19)和(3.9)，我们有
(3.10)
现在，利用命题3.1进入上述表达式，我们计算
(3.11)
根据拉普拉斯式的定义，Eq.(3.11)可化简为
(3.12)
现在，我们计算和的范数。首先,考虑
(3.13)
根据引理3.2的公式-4，我们有
这意味着下面的关系
(3.14)
其次，考虑和使用采用的框架，我们得到
(3.15)
利用(3.15)式中引理3.2的公式-1 ~ 3的第三个表达式，我们得到
(3.16)
根据梯度的定义，我们得出
(3.17)
从方程式。(3.12) -(3.17)，我们有(3.7)。如果平等成立，那么我们有
(3.18)
上面的方程表明f和h是B t上的常数，因此，M被简化为弯曲的单一乘积，其类型为。这样，定理的证明就完成了。
为了支持上述定理，我们在这里给出一个数值例子:
让我们考虑12维欧几里得空间，其坐标允许欧几里得度量g和几乎复杂的结构
(3.19)
通过简单的计算，我们可以很容易地证明它是一个广义的复空间形式，特别是近克勒流形。为了尽量减少计算的复杂性，我们针对其特殊情况开发了浸入式;通过下面的浸入，将浸入的子集视为子流形
M在每一点上的切子空间是由基张成的
通过简单的计算，我们观察到由张成的分布是不变的，由张成的分布是反不变的，由张成的分布是带斜角的点向倾斜的
M上的诱导度规由
这表明M是一个具有扭曲函数和的SWP流形。
M的法向束被推导为;
用高斯公式计算
(3.20) (3.21) (3.22) (3.23) (3.24) (3.25) (3.26) (3.27) (3.28)
在哪里
符号和具有如下表示形式
根据等式。(3.20) -(3.28)，我们得到以下关系;
(3.29) (3.30) (3.31) (3.32)
在哪里
由式(3.30)-(3.32)的推论，定理3.4中的不等式(3.7)成立。
如果在定理3.4中
案例1。，则M化简为复空间形式，不等式(3.7)化简为Sahin[29]导出的形式
例2。，则M为双翘曲积，因此不等式化简为
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顺序弯曲积子流形的等式
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